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BIENVENIDOS A LA TRIGONOMETRIA FÁCIL DE DÉCIMO.

ÁNGULOS.

Es la unión de dos semirrectas mediante un punto vértice esto determina un angulo. los elementos que forman un anguló son lado inicial, vértice, lado terminal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas ( trigonometría plana) o curvas ( trigonometría esférica). Se denominaángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente

CLASES DE ÁNGULOS.

Angulo nulo:Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Angulooo nulo

Angulo agudo:Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0° y menor de 90°

Angulo agudo

Angulo obtuso: Mayor a 90° y menor a 180°

Angulo obtuso

Angulo llano: Equivalente a 180°

Angulo llano

Angulo oblicuo:Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. 

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos. mide mas de 180º

Oblicuo

Angulo completo o perigonal: mide exactamente 360º

Completo

SUMA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h 60 min 60 s

1º 60' 60"

SISTEMA CLICLICO.

Es el sistema en el cual la unidad de medida es el radián.Recuerda que radián es el ángulo central cuyo radio es igual a la longitud del arco que subtiende. En el sistema sexagesimal la unidad es el grado.   

Sistema siclico

en la grafica anterior el angulo tetha formado por 2 radianes y el arco S cuyo vértice es el origen se denomina angulo central. cuando la medida del arco S es la misma del radio de la circunferencia, se dice que theta mide un radian.

Funciones.

una función en una regla o correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y solo un elemento del conjunto B.

F(x)= 3x+1

F(3)= 3(3)+1

=9+1

=10

una función se puede simbolizar con las letras,f,e,h,etc. en una función expresada por f:A---->B, el conjunto A se denomina conjunto de partida y al conjunto B se denomina conjunta de llegada.

RANGO Y DOMINIO

Función trigonométrica

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son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos

EL CIRCULO TRIGONOMÉTRICO

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ya conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a conceptos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un punto, ubicasion de diferentes puntos en el plano, algunas relaciones como por ejemplo, la distancia entre dos puntos dados. sean P1 (X1, Y1) Y P2 (X2,Y2)

Razones trigonométricas.

se realizan fundamentalmente en la solución de triángulos, rectángulos, recordando que todo triangulo rectángulo tiene un angulo de 90° y sus ángulos anteriores suman 180°, la notación que se acostumbra es la siguiente

REPRESENTACION GRAFICA.

Funcion afin1

La representación grafica de una funcion perite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

gráfica (f) = {(x, f(x)) /  x ∈ D}

Para representar una función tenemos estudiaremos los siguientes apartados:

Dominio de una función

D = {x ∈  /  f (x)}

FUNCIÓN COORDENADA.

Sine-3

La longitud C de la circunferencia de radio r viene dada por 2rad, de donde se deduce que para la circunferencia unitaria de radio 1, la longitud será :

2Rad  (1) = 2 Rad

SENO, COSENO Y TANGENTE.

Las tres funciones más importantes en trigonometría son el seno, el coseno y la tangente. Cada una es la longitud de un lado dividida entre la longitud de otro... ¡sólo tienes que aprenderte qué lados son!

Para el ángulo θ :

Función seno: sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Función coseno: cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
Función tangente: tan(θ) = Opuesto / Adyacente

LONGITUD DE ARCO.

Descarga

La longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR.

Area-de-un-sector-circular-ejemplo-1

Se denomina sector circular a la porción del plano delimitada por un arco de circunferencia y dos de sus radios. Otros métodos para definirlo sería: porción de círculo delimitada por dos de sus radios o por un ángulo central al mismo, el área de un sector circular depende de dos parámetros, el radio y el ángulo central.

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TRIANGULOS.

Es la reunión de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y no colineales. Cada punto dado pertenece a dos segmentos exactamente.1 Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo2 y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

SEGUN LA LONGITUD.

Equilatero: Tienen todos sus lados iguales.

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Isosceles: Se da cuando solo 2 de sus lados son iguales.

Geo260-triang-isosceles

Escalenos: Se da cuando todos sus lados son diferentes.

Escaleno

SEGUN LA MEDIDA DE SUS ANGULOS.

Triangulo acutangulo: Cuando todos sus angulos son agudos. (Menos de 90°)

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Triangulo obtusángulo: Tiene un angulo obtuso y 2 agudos.

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Triangulo rectangulo: Tiene angulo recto y 2 angulos agudos.

TEOREMA DE PITAGORAS.

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El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

EJEMPLOS.

Triangle4

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

25 + 144 = 169

c2 = 169

c = √169

c = 13

EJEMPLOS.

Triangle3

a2 + b2 = c2

92 + b2 = 152

81 + b2 = 225

Resta 81 a ambos lados

b2 = 144

b = √144

b = 12

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Es el estudio de la trigonométrica se puede realizar por medio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triangulo rectángulo así como lo desarrollan en la antigüedad los babilonios y egipcios hace 3000 años o por medio de circunferencia unitaria.

Circunferencia unitaria.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo  con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

743a4b6fbc01d4d0554bf63601ff4307

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

0de7f13e38711ad2b396e49e1feb6c12

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

A20dbdf4bd1674ad7a19eeaa348e010f

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

E3e971a804831015c8331d7b0217d122

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

86c8579756afd069f757a5b3491c83ab

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC

como OA = 1, se deduce que: AE = AC /

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SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Los signos de las funciones trigonometricas, dependen del cuadrante en el cual se encuentre el punto determinado.MA

Funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos image007

IMAGENES.

Signos1
Signos2

Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:

VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS DE 30, 45 y 60.

Para hallar el valor de los angulos debemos utilizar triangulos, triangulos especiales como el triangulo equilatero o el triangulo isosceles - rectangulo.

ANGULOS DE 30 Y 60: Construimos un triangulo equilatero para hallar el valor de las relaciones o razones trigonometricas.

sea el triangulo ABC equilatero. la medida de sus angulos internos es de 60: se traza una mediatriz y a la vez biceptriz al angulo A y al segmento AC (Angulo A, AC)

TRIANGULO OBLICUÁNGULO.

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

CASO 1: Se conoce un lado y dos angulos.

Caso 2: Se conocen 2 lados y el angulo opuesto a uno de ellos.

Caso 4: Se conocen 3 lados del triangulo.

CASO 4: Se conocen 2 lados del triangulo y el angulo comprendido entre ellos, para resolver este tipo de triangulo se utiliza el teorema conocido como la ley del seno y el coseno.

ANGULOS DE PRESION Y ELEVACION.

Angulo de elevacion:

  • Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira .
  • La línea de Mira está por encima de la línea Horizontal.x Línea Horizontal Línea de Mira A B

Angulo de depresion:

  • Es el ángulo formado por la línea de Mira y la línea Horizontal. Pero la línea de Mira está por encima de la línea Horizontal x Línea Horizontal Línea de Mira A B
  • 4. Ejemplo Nº 1 : Un grillo se encuentra a 10 m. del pie de un árbol, observa el tamaño total de dicho árbol con un ángulo de 30º ¿Cuál es el tamaño de dicho árbol? 30º h 10 m.

5. Solución : 2k 1k 3k h = 1k h = 10 3 3 3k = 10 K = 10 3 K = 10 3 3 tg 30º = h 10m. h = 10m. x tg 30º h = 10m. x 3 3 Rpta: h = 10 3

LEY DEL COSENO.

La ley de cosenos  se puede  considera  como una extencion de el teorema de pitagoras aplicable a todos los  triángulos. Ella enuncia así: el  cuadrado de un la de un  triangulo  es igual a la suma  de los cuadrados  de los otros dos  lados menos   el  doble producto  de estos  dos  lados multiplicando por el coseno del angulo que  forman 

si aplicamos este teorema  al triangulo.

Resolucion002-05

Ejemplos:

Law-of-cosines-image006
Law-of-cosines-image002

LEY DEL SENO.

la ley de seno es una relación de tres igualdades  que siempre se cumple entre los lados y ángulos de un  triangulo cualquiera, y que es útil para resolver   ciertos  tipos de problemas de triángulos

la ley de seno dice  así

Ley de senos

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

Razones-de-c3a1ngulos-especiales


RELACIONES RECIPROCAS.

Existen relaciones recíprocas de las razones trigonométricas, como: 

csc ө = 1/sen ө

sec ө = 1/cos ө  

cot ө = 1/tan ө  


El valor de las funciones trigonométricas de un ángulo ө es independiente del punto que se ubique sobre su lado final.


Ubicación de las razones trigonometricas de un triángulo inscrito en una circunferencia unitaria

Descarga

Las relaciones reciprocas estan dadas por:

Fotoooo

RELACIONES QUE SON RAZONES DE 2 FUNCIONES.

Las funciones tan y cot se pueden expresar en terminos de sen y cos. esto se deduce a partir del analisis de las lineas trigonometricas en la circunferencia unitaria, asi:

0001892728

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS

Significa escribir de una manera mas sencilla, utilizando las operaciones, las factorizaciones y las identidades trigonometricas.

Para operar 2 o mas expresiones trigonometricas se utilizan los mismos procedimientos que se llevan a cabo en algebra para operar expresiones trigonometricas.

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS.

Una ecuación trigonométrica es un comparación de una expresión trigonométrica con un valor determinado, el cual me llevará a encontrar con exactitud el o los valores de la o las incógnitas presentes en dicha ecuación. De aqui que una ecuación trigonometrica tiene el mismo comportamiento de una ecuación normal. Veamos una comparación

Ejemplos-de-ecuaciones

¿Como deben ser resueltas?

Las ecuaciones trigonométricas deben ser resueltas tomando en cuenta que un ángulo agudo se presenta con iguales valores y caracterÃísticas en los diferentes cuadrantes, así­, el seno de un ángulo agudo en el primer cuadrante, tiene el mismo valor en el segundo cuadrante, ya que tanto en el primer como segundo cuadrante, el eje que representa al seno es positivo. Lo proprio sucede con el seno en el primer y tercer cuadrantes, como puede verse en las dos siguientes ilustraciones.

Signos-de-las-funciones-trigonometricas
Signos-de-las-funciones-trigonometricas-2

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS LINEALES.

Se resuelven despejando las funciones trigonometricas hasta obtener una expresion de la funcion f(x)=K.

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